Kritische Bandbreite, Harmonie

[kaimex]

Hallo,
In der Hör-Physiologie gibt es den Begriff der "kritischen Bandbreite" (Bkrit) , ein Maß für das (gleichzeitige) Auflösungsvermögen unserer Ohren als Funktion der Frequenz. Zwei gleich laute Töne unterschiedlicher Frequenz werden als zwei getrennte Töne gehört, wenn ihr Abstand größer ist als Bkrit. Innerhalb Bkrit wird bei kleinem Abstand nur ein Ton wahrgenommen, bei etwas größerem eine "saubere" Schwebung, schließlich ein unangenehm rauh klingender Ton.
   
Bkrit ist außerdem von Bedeutung für die Verdeckungseffekte, die in Datenreduktionsverfahren wie zB mp3 ausgenutzt werden, um verdecktes wegzulassen.
In vielen Fach-Publikationen findet man Darstellungen von Bkrit wie diese
    oder über log(f)    

Für das Empfinden zweier getrennt wahrgenommener Töne mit Oberwellen als harmonischer oder dissonanter Klang ist von Bedeutung, ob die Mehrzahl der Oberwellen, deren Abstand geringer ist als Bkrit bei deren mittlerer Frequenz, sich innerhalb der kleineren "Schwebungs"-Bandbreite befinden oder in dem als rauh empfundenen Bereich.

Ich suche eine Darstellung der "Schwebungs"-Bandbreite als Funktion der Frequenz oder eine quantitave Angabe ihres Verhältnisses zu Bkrit.

MfG Kai

PS: Die Bilder 1 & 2 stammen aus dem Buch von Manfred Spitzer "Musik im Kopf", 2002, ISBN 3-7945-2174-9 und gehen zurück auf Pierce, 1992.
Bild 3 stammt aus http://www.feilding.net/sfuad/musi3012-01/dem... "Frequency Analysis and Critical Bands"

[hannoholgi]

??? ?(

[andreas42]

Hallo Kai,

das ist ja interessant - Bild 2 würde also bedeuten, dass man kleine und große Sekunden (=ein oder zwei Halbtöne) nirgends als zwei getrennte Töne wahrnimmt, und kleine Terzen erst irgendwo in der zweigestrichenen Oktave?

Ich habe noch nie bewusst auf meine Wahrnehmung geachtet - es scheint mir aber (was die Sekunden angeht) plausibel - nur bei den kleinen Terzen scheint das der Alltagserfahrung zu widersprechen. Wenn ich Gelegenheit habe, werde ich mal hinhören und berichten.

Für das Empfinden zweier getrennt wahrgenommener Töne mit Oberwellen als harmonischer oder dissonanter Klang ist von Bedeutung, ob die Mehrzahl der Oberwellen, deren Abstand geringer ist als Bkrit bei deren mittlerer Frequenz, sich innerhalb der kleineren "Schwebungs"-Bandbreite befinden oder in dem als rauh empfundenen Bereich.

Ich glaube, das habe ich noch nicht ganz verstanden... mal versuchen:

• Die Töne werden getrennt wahrgenommen - also sind wir schonmal oberhalb der gezeichneten kritischen Bandbreite, oder?
  
• Jetzt suchst Du eine weitere Größe, die "Schwebungs-Bandbreite", die kleiner sein soll, als die "kritische Bandbreite"?
  
• Und dann muss man die Teiltöne (Oberwellen) damit vergleichen, um festzustellen, ob ein Zusammenklang harmonisch oder unharmonisch empfunden wird?
  

Ich habe das Gefühl, dass damit nur wieder die gleiche kritische Bandbreite gemeint sein könnte, die oben schon den Grundton beschreibt - nur eben nochmal auf die Obertöne angewand. Als Test könnte man ja mal die klassischen konsonanten Intervalle (alles außer Sekunden und Septimen) mit den dissonanten Intervallen (... eben Sekunden und Septimen) vergleichen, und sehen, ob auf ihre Teiltonspektren sowas zutrifft...

Ich glaube, ich muss mir das Buch mal vornehmen

Viele Grüße
Andreas

[kaimex]

Hallo Andreas,
ich verstehe weniger von Musik als du, u.a. deshalb lese ich derzeit sowas. Zur Vergewisserung muß ich dich also auch auf solche Publikationen verweisen und das Internet, da findet man allerlei zur kritischen Bandbreite (critical bandwith), bei Wiki und den Unversitäten et..
Wenn man von unten eine berührende Gerade an die Bkrit-Kurve legt, entspricht die Steigung etwa 5-Vierteltönen (2^(5/24)).

Bei der zweiten Frage mußt du unterscheiden zwischen der kritischen Bandbreite bei fm= (f1+f2)/2 der beiden Grundfrequenzen und der bei nahe beieinanderliegenden Oberwellen fm= (n1*f1+n2*f2)/2 (zB 3*f1 und 2*f2 bei einer Quinte oder 4 f1 & 2 f2 bei einer Septime). Bei einer reinen Quinte mit f2/f1=1,5 fallen einige Oberwellen exakt zusammen : 3 f1=2 f2, 6 f1= 4 f2. Bei der gleichschwebenden Tonleiter ist das nicht mehr so : f2/f1 = 1,4983. Dazu kann an einen "Dissonanz-Grad" definieren & berechnen:
   

Das Bild stammt auch aus dem Buch von Spitzer, im Original ebenfalls von Pierce, 1992.
f1 war hier 250 Hz. f2 wurde von f1 nach 500 Hz verändert. Bei der Berechnung wurden alle bis zur 5.ten Oberwelle berücksichtigt. Über den Oberwellen-Pegel wird nichts verraten.

Klänge werden als um so unangenehmer empfunden, je mehr benachbarte Oberwellen sich in dem Rauhheits-Bereich ihrer kritschen Bandbreite befinden. Die im Schwebungsbereich gefallen.

So mein derzeitiges Verständnis.

MfG Kai

[kaimex]

Hallo Andreas,

ich hab's eben mal ausprobiert an einem Beispiel.
Kannst du vielleicht nachmachen, wenn du ein Android Gerät dabei hast:
Von keuwlsoft den "Dual Channel Function Generator" nehmen, den einen Kanal auf 440 Hz einstellen, den anderen in die Nähe.
Da man den Generator leider nicht auf Mono-Ouput stellen kann, muß man den Kopfhörerstecker ein bischen rausziehen, bis die Buchse auf den Ringen des Steckers Mono macht. Bei mir ging das mit etwas Fingerspitzengefühl.
Große Sekunde wäre etwa 1.12*440 = 493 Hz, kleine Terz wäre 1.19*440=523 Hz, große Terz 1.26*440 = 554 Hz.
Man kann den gewählten Kanal auch im Betrieb in der Frequenz hoch und runterschieben.
Irgendwo oberhalb der kleinen Terz trennt sich wohl die Wahrnehmung in zwei Töne.
Bis 460 Hz erscheint es wie klare Schwebung, darüber würde ich den Eindruck, auf jeden Fall ab 480...490 Hz verbrummt nennen (40-50 Hz Offset), darüber vibrierend/rauh.
Ich hab es mit Sinus probiert. Außerdem kann an Dreieck und Rechteck wählen. Da domineren aber wohl die Oberwellen zu sehr.

Als ich den Generator eben auf mein kleines 8"-Tablett geladen/installiert habe, sah ich, daß es bei keuwlsoft auch ein "Harmonicity Meter" gibt.

MfG Kai

[EN1RZ]

Ich hab diesen Dual funktion Generator auf mein Samsung Tab2 drauf und war erstaunt darueber das dieses tablet die unteren frequenzen ohne zu muren ueber die kopfhoererbuchse ausgibt, habe dieses mal mit mein S4 probiert, da war bei 7Hz der ausgang zu wo das tab2 noch fleissig am belasteten ausgang am Oskar saubere signale liefert. Somit hat das Tab2 wohl keinen filter am ausgang der tiefere frequenzen im wege steht.

[kaimex]

Die untere 3dB Grenze hab ich bei mir noch nicht geprüft, bzw. bis 30 Hz ist mir nix aufgefallen.
Den Trennkondensator im Ausgang kann man eigentlich nur weglassen, wenn das Telefon intern den Kopfhörerverstärker mit +- Spannung versorgt, so daß Masse das Ruhe-Potential sein kann, oder wenn der Masse-Anschluß des Kopfhörers auf die halbe Betriebsspannung gelegt wird. Das könnte jedoch Komplikationen ergeben, wenn man den Ausgang als Line-Ausgang mit anderen Geräten verbindet und außerdem von der Stromversorgung her eine Masseverbindung hergestellt wird.
Andererseits bräuchte man für die typische Kopfhörer-Impedanz von 33 Ohm einen Koppelkondensator von mindestens 688 uF, um auf eine Grentfrequenz <= 7 Hz zu kommen. Das wird man natürlich gern vermeiden.

MfG Kai

[EN1RZ]

Fakt ist, das S4 Handy macht so ab 15Hz bis 7Hz den ausgang zu, das tablet am verstaerker hat so manchesmal die ausgaenge abgeschaltet wegen der tiefen frequenz , weil der fast an gleichspannung am ausgang hatte. Aber davon mal ab, interessant ist die app allemale als portablen funktions generator.

[kaimex]

Inzwischen hab ich mal im "Selbstversuch" bei weiteren Frequenzen angehört, was ich wohl als Schwebungsbandbreite empfinde.
Außer den schon genannten 440 Hz habe ich noch bei 1 kHz , 2 kHz und 150 Hz (jeweils die untere Frequenz f1) getestet. Dabei kam heraus, daß unabhängig von der Frequenz f1 die Schwebung mit f2=f1+df bei |df| >~ 20...25 Hz in einen als vibrierend empfundenen Ton übergeht, den man ab 40...50 Hz als "angebrummt" empfindet. Demnach wäre die Schwebungsbandbreite unabhäging von der mittleren Frequenz des Tonpaares etwa 40-50 Hz. Das paßt also nicht sonderlich zum ersten Bild im Ausgangsbeitrag, das den Eindruck vermittelt, die Schwebungsbandbreite sei ein beträchtlicher Anteil der kritischen Bandbreite. Das trifft allenfalls am unteren Ende des Frequenzbereiches zu, aber überhaupt nicht am oberen Ende, wo die kritische Bandbreite einige kHz beträgt. Dort ist der Schwebungsbereich, relativ gesehen, verschwindend klein.
Deshalb kommen mir Zweifel an der Ausgangsaussage, harmonischer Zusammenklang erfordere, daß viele nahe beieinander liegende Oberwellen sich in der Frequenz höchstens um die Schwebungsbandbreite unterscheiden dürfen. Alle anderen hörphysiologischen Effekte skalieren bei hohen Frequenzen mehr oder weniger mit der Frequenz (unser Tonleitersystem völlig), weshalb sich ja auch die Darstellung über log(f) etabliert hat, die Schwebungsbandbreite tut das nicht. Würde man die Aussage akzeptieren, hieße das, harmonischer Zusammenklang würde bei hohen Frequenzen wegen des immer kleiner werdenden Bruchteils der Schwebungsbandbreite an der kritischen Bandbreite immer unwahrscheinlicher.
Das scheint mir nicht im Einklang zu stehen mit praktischem Musik-Erleben.

Deshalb ist es vermutlich zweckdienlicher die Frage anders zu stellen: In welchen Bruchteil der ihrer jeweiligen kritischen Bandbreite müssen benachbarte Oberwellen eines Tonpaares fallen, damit der Klang als (noch) harmonisch empfunden wird ?

MfG Kai

[andreas42]

Hallo Kai,

zuerst mal ein frohes neues Jahr!

Würde man die Aussage akzeptieren, hieße das, harmonischer Zusammenklang würde bei hohen Frequenzen wegen des immer kleiner werdenden Bruchteils der Schwebungsbandbreite an der kritischen Bandbreite immer unwahrscheinlicher.

Hm, ganz abwegig ist es nicht: Wenn ich beim Stimmen von Zungenpfeifen in der Orgel sitze, so musste ich immer wieder feststellen, dass sich die Mittellage am einfachsten stimmen lässt: Man hört viel deutlicher als bei den tiefen Pfeifen, wann sie jetzt schwebungsfrei sind - und gleichzeitig ist es bei den höchsten Tönen eine unendliche Geduldsarbeit, sie richtig sauber zu bekommen.

Aber: Besonders in der Höhe sind die mechanischen Wege der Stimmkrücke zwischen "sauber" und "unsauber" auch sehr klein - was durchaus der dominierende Effekt sein könnte.

Wenn ich das nächste mal in der Orgel sitze, achte ich mal bewusst darauf.

Viele Grüße
Andreas

[kaimex]

Hallo Andreas,

auch von mir alles Gute für das nächste Jahr.

"Schwebungsfrei" ist aber auch noch mal (mindestens eine Stufe ) anspruchsvoller als "nicht dissonant" bzw "konsonant" oder "harmonisch". Letztere sind die Kategorien, die im Buch von Prof. Spitzer verwendet werden. Schwebungsfrei würde bedeuten, die Oberwellen fallen exakt zusammen oder die Frequenzdifferenz ist so klein << 1 Hz, daß man die Schwebung nicht bemerkt. ?Merkwürdigerweise? wird der Fall, daß die Oberwellen einen Abstand > kritische Bandbreite haben, auch als "konsonant" eingestuft.
Beim Probieren mit einem Tongenerator merkt man weitere für den Novizen auf diesem Gebiet eigentümliche Effekte: zB wenn man den Frequenzabstand weit über Bkrit erhöht und schließlich in die Nähe von f2=2 f1 geraten ist, dann kann es sein, daß man dies als zwei Töne wahrnimmt oder als einen harmonischen Klang mit dem "Pitch" von f1. Insofern ist es nicht einfach so, daß man Töne, die weiter als Bkrit auseinander liegen, als getrennte Töne wahrnimmt.
Wenn man mal "Blut" geleckt hat, ein interessantes Gebiet.
Der Herr Pierce, auf den sich Herr Spitzer beruft, war übrigens eigentlich Ingenieur (u.a. bei Bell Labs) und u.a. der Erfinder von PCM (1 Jahr vor Shannon publiziert) und hat den Namen "Transistor" geprägt. Er leitete die Arbeitsgruppe, in der der Kollege Brittain den ersten Transistor baute.
Neben Fachbüchern hat er unter Pseudonym auch Science Fiction geschrieben.
https://en.wikipedia.org/wiki/John_R._Pierce
Spitzer bezieht sich wohl auf sein Buch "The Science of Musical Sound", erschienen 1992, günstig als 2nd hand Taschenbuch zu bekommen.
Ein weiteres Buch aus diesem Arbeitsgebiet ist
Diana Deutsch (Ed.): "The Psychology of Music", 2. Auflage 1999 mit einem Aufsatz/Kapitel von Pierce, 3.te Auflage 2013 (ohne Pierce).

MfG Kai

[Captn Difool]

Den Effekt konnte ich auch bei einer zweistrahligen DC-9 Passagiermaschine hören, wo die Triebwerke bei fast gleicher Drehzahl eine Schwebung erzeugten.

Ich nutzte diesen Effekt, als ich noch keinen Frequenzzähler hatte, um die Geschwindigkeit eines Cassettendecks einzustellen. Das Cassettensignal in einer Hälfte des Kopfhörers gegen ein generiertes Signal auf der anderen Seite. Ich hielt beide Hörschalen nahe beieinander und konnte mittels Schwebung die Frequenzgleichheit einstellen.

[andreas42]

Hallo Kai,

"Schwebungsfrei" ist aber auch noch mal (mindestens eine Stufe ) anspruchsvoller als "nicht dissonant" bzw "konsonant" oder "harmonisch".

ah, ja, das stimmt natürlich. Dann war ich an der falschen Baustelle. Also nochmal:

Alle anderen hörphysiologischen Effekte skalieren bei hohen Frequenzen mehr oder weniger mit der Frequenz (unser Tonleitersystem völlig), ..., die Schwebungsbandbreite tut das nicht.

Ja - in der Musik hängt die Frage, ob ein Intervall konsonant oder dissonant ist, nicht von der Oktave (i.e. der absoluten Frequenz) ab, in der es liegt.

... und schließlich in die Nähe von f2=2 f1 geraten ist, dann kann es sein, daß man dies als zwei Töne wahrnimmt oder als einen harmonischen Klang mit dem "Pitch" von f1.

"Musik ist die versteckte arithmetische Tätigkeit der Seele, die sich nicht dessen bewußt ist, daß sie rechnet." (Gottfried Wilhelm Leibniz)

Kommt zwar etwas vom Thema ab, aber dennoch: Wir sind so auf die übliche Oberton-Struktur eines Klanges konditioniert, dass wir sogar Grundtöne ergänzen, die nicht vorhanden sind. Beim Nachschlagen habe ich eben gelernt, dass dies Residualtöne sind - und nicht etwa Kombinationstöne, wie in der Orgelbaupraxis falsch als Begriff verwendet.

Man nutzt dies praktisch aus, dass man statt einer besonders großen Pfeife für einen tiefen Ton einfach zwei kleinere baut - eine davon eine Oktave über dem (fehlenden) Grundton, eine weitere eine Oktave plus eine Quinte über dem Grundton. Orgelüblich in Fuß ausgedrückt: Statt eines 16' baut man einen 8' und einen 2 2/3' 5 1/3'. Dass diese Täuschung gut funktioniert habe ich an einem historischen Instrument hier in der Nähe schon mehrfach selbst erlebt - und konnte erst einen Unterschied hören, nachdem ich wusste, welche Pfeifen da eigentlich im Pedal stehen...


André,

Ich nutzte diesen Effekt, als ich noch keinen Frequenzzähler hatte, um die Geschwindigkeit eines Cassettendecks einzustellen.

das mache ich immernoch gerne so - man "stimmt" sein Tonbandgerät einfach genauso wie ein Musikinstrument, mit sehr präzisen Ergebnissen Ich summiere auch gerne Soll- und Ist-Frequenz im Mischpult, dann kann man die Schwebung sogar mehr als deutlich am Peak-Meter sehen.

Sogar bei einem Praktikumsversuch zur Messung der Lichtgeschwindigkeit mit einem schnell rotierenden Spiegel wurde die Drehfrequenz des Spiegels akustisch durch Schwebungen mit verschiedenen Stimmgabeln bestimmt.

Komplizierter wird es, wenn man beim "Legen einer Temperatur" (=dem Stimmen eines Tasteninstrumentes in einer ungleichstufigen Stimmung) nach Gehör nicht auf Schwebungsnull, sondern auf eine bestimmte Anzahl Schwebungen pro Sekunde abgleichen muss - z.B. mit einem längenverstellbaren Pendel als Hilfsmittel...

Viele Grüße
Andreas

[kaimex]

Zu "virtuellen (Grund)Tönen" gibt es bei M. Spitzer auch einen Abschnitt mit zwei Beispielen, die ich ausprobiert habe, allerdings ohne Erfolgserlebnis:
Er sagt: hören wir drei Sinüsse mit 820, 1020, 1220 Hz , intepretiert das Gehör das nicht als Tongemisch, sondern als einen Grundton von 204 Hz mit den Oberwellen 816 (4te), 1020 (5te) und 1224 Hz (6te). Ich hab das mit drei gleich lauten Tönen (über die relativen Pegel gibt es keine Angaben) in Audacity erzeugt und war enttäuscht, keinen Grundton bei 20x Hz zu hören.
Ebenso bei einem zweiten Beispiel mit 795, 1207 & 1598 Hz, was als ein virtueller Grundton von 400 Hz mit den Oberwellen 800 (2te), 1200 (3te) & 1600 (4te) erscheinen soll.
Vielleicht muß man Linkshänder sein, um das wahrzunehmen .
Übrigens sollen sich im vorigen Jahrhundert mindestens zwei Firmen/Entwickler Verfahren patentiert haben lassen, die durch Erzeugen eines günstigen Oberwellenspektrums aus kleinen Lautsprechern virtuelle (Tief-)Bässe in die horchende Köpfe zu zaubern.

MfG Kai

[andreas42]

Kai,

die Teiltöne müssen in ihrer Stärke dem Spektrum folgen, wie es auch bei vorhandenem Grundton wäre - im Beispiel also das Spektrum der gesparten großen Pfeife nachbilden. Versuche doch mal 1/n statt gleich laut.

Gute Nacht
Andreas

[kaimex]

leider kenn ich das spektrum der gesparten pfeife nicht.
1/n hab ich vielleicht auch probiert, weiß ich nicht mehr so genau.
aber es gibt auch zu viele fâlle mit nicht abfallendem harmonischen spektrum bei musikinstrumenten und vocals, als daß ich 1/n besonders naheliegend fände. gerade stimmen haben ja wohl wegen der formanten das maximum oft oberhalb der grundfrequenz. die anregung von den stimmbändern ist ja eher impulsförmig mit der folge eines zunächst kaum abfallenden spektrums.
wenn du ein funktionierendes beispiel hast, dann her mit den zahlen oder einem mp3-file, bevor ich mich bei prof.spitzer über nicht funktionierende beispiele beschwere .

mfg kai

[Peter Ruhrberg]

Vielleicht muß man Linkshänder sein, um das wahrzunehmen .

Geburtsbedingt bin ich bin alles ansdere als ein Linkshänder und habe mal das Experiment mit den Harmonischen 816/1020/1224 Hz mit den Relativpegeln 0, -3 und -7dB wiederholt. Das ist etwa das Verhältnis, mit dem es mir am leichtesten schien, die Lage des zugehörigen 204 Hz Grundtons sicher zu identifizieren - sogar mit einem Mini-Lautsprecher, der unterhalb 600 Hz längst nichts mehr abstrahlt.

Die Partialtöne einzeln höre ich musikalisch ausgedrückt als Doppeloktave sowie darüberliegende Großterz und Quinte (in reiner Stimmung).

Mir scheint es erschwert das Erkennen der 204-Hz-Residualtonhöhe, wenn die relativ nahe beieinanderliegenden Teiltöne in "unnatürlichen" Pegelverhältnissen zueinander liegen. Eine zu laute Quinte beispielsweise führt dazu, dass ich das Resultat als Zweiklang interpretieren würde.

Grüße, Peter

[kaimex]

Hallo Peter,

danke für den Hinweis, dann versuche ich das so auch nochmal.

In der Zwischenzeit hab ich mich gefragt, wieso sich die Verfahren zur Erzeugung von virtuellenTiefbässen nicht auf breiter Front in der Audio-Medienwelt durchgesetzt haben, wenn sie denn tatsächlich gut und sicher funktionieren. In gewissen Konsumenten-Generationen soll es doch geradezu eine Gier nach fetten Bässen geben, aber nicht die Bereitschaft oder das Geld, die normalerweise dazu nötigen großen Bass-Lautsprecher anzuschaffen.

MfG Kai
Nachtrag: Inzwischen hab ich es mit 0/-3/-7 dB probiert. Wieder keine 204 Hz gehört. Außerdem hab ich -6/0/-6 dB probiert, was gleichwertig ist einer 100% AM-Modulation von 1200 Hz mit 204 Hz (wenn die Phasenrelationen von f1 und f3 stimmen). Auch keinen virtuellen Grundton gehört. Beide Tongemische hören sich für mich fast gleich an. Wenn man das erste Gemisch auf ein Ohr gibt und einen Ton variabler Amplitude von 204 Hz auf das andere Ohr, dann müßte man ja eigentlich die 204 Hz über die Pegel-Einstellung in die Kopfmitte kriegen (wenn die Phase passend ist). Mir gelang da nichts. Mich würde interessieren, welchen virtuellen Pegel diejenigen so ermitteln, die den virtuellen Grundton hören.